БарГУ.by » Учебные материалы » Лекции » Высшая математика » Случайные события и их вероятности

Случайные события и их вероятности

1. Понятие случайного события.
2. Классическое определение вероятности.
3. Теорема вероятности произведения событий.
4. Теорема сумм.
5. Формула полной вероятности. Формулы Байеса.
6. Формула Бернулли.
7. Урновая схема.

 

Вы не можете скачивать файлы с нашего сервера

 

1. Под случайным событием, связанным с некоторым опытом, понимается всякое событие, которое при осуществлении этого опыта либо происходит, либо не происходит.
Событие называется достоверным, если оно обязательно произойдет в результате опыта или экспериментов. Обозначается U. Если событие заведомо не может произойти в результате опыта, то оно называется невозможным. Обозначается V или ø. Случайные события обозначаются А, В, С…
События называются совместными, если появление одного из них не исключает появление других, в противном случае – несовместными.
Событие Ā (не «А») называется противоположным к событию А, если оно состоит в том, что событие А не произошло. События называются независимыми, если появление одного из них не зависит от того, произошло или нет другое событие. В противном случае зависимо.
Операции над событиями:
1. Суммой (объединением) событий А и В называется событие С, А+В=С (АUВ=С) которое происходит, когда наступает либо событие А, либо событие В, либо оба одновременно.
2. Произведением (пересечением) событий А и В называется событие С, которое наступает, когда происходят оба события А и В. А*В=С (АΩВ=С).
3. Разностью событий А и В (А/В=С) называется событие С, наступающее, когда происходит событие А, но не происходит В.

2. Пусть событие А связано с опытом с равновероятными исходами. Вероятностью события А называется отношение числа исходов опыта, благоприятствующих событию А, к числу исходов.
Р(А)=m/n, где m – число исходов, благоприятствующих А,
n – число исходов.
Свойства вероятности:
1.0≤ Р(А) ≤1
Р(ø)=0
Р(U)=1.
2. Р(А)+Р(Ā)=1
Р(Ā)=1- Р(А)

3. Вероятность произведения двух независимых событий А и В равна произведению их вероятностей:
Р(А*В)=Р(А)*Р(В) – для независимых событий.
Вероятность произведения n попарно независимых событий А1, А2…Аn равна произведению их вероятностей:
Р(А1*А2*…*Аn)=Р(А1)*Р(А2)*…*Р(Аn).
Пусть события А и В зависимы. Вероятность события В, вычисленная в предположении, что событие А произошло, называется условной вероятностью события В и обозначается Р(В/А).
Условная вероятность события В:
Р(В/А)= Р(А/В)/Р(А)
Р(А/В)= Р(А)* Р(В/А) – для зависимых событий.
Вероятность произведения зависимых событий А и В равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого при условии, что первое произошло.
Вероятность произведения n-зависимых событий А1, А2…Аn равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности остальных:
Р(А1*А2*…*Аn)=Р(А1)*Р(А2/А1)* Р(А3/А1*А2)*…*Р(Аn/А1*А2*Аn-1).

4.Вероятность суммы событий А и В равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного наступления.
Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ) – для совместных событий.
Р(А+В)=Р(А)+Р(В) – для несовместных событий.
Для n несовместных событий:
Р(А1+А2+…+Аn)=Р(А1)+Р(А2)+…+Р(Аn).
Для n совместных событий:
Р(А1+А2+…+Аn)=1-Р(Ā1* Ā2*…* Ān).

5. Пусть событие А наступает с одним из событий Н1, Н2,…,Нn. Пусть известны вероятность Р(Н1), Р(Н2), …, Р(Нn) и условные вероятности Р(А/Н1), Р(А/Н2), …, Р(А/Нn). Тогда вероятность события А вычисляется по формуле (формула полной вероятности):
Р(А)= Р(Н1)* Р(А/Н1)+ Р(Н2)* Р(А/Н2)+…+ Р(Нn)* Р(А/Нn), где Н1, Н2,…,Нn - гипотезы и их условные вероятности.
Формулы Байеса:
Р(Нi/А)= (Р(Нi)* Р(А/Нi))/Р(А)

6. Пусть событие А в некотором испытании произойдет с вероятностью р. Тогда вероятность того, что при n кратном повторении опыта событие А наступит ровно k раз вычисляется по формуле:
Случайные события и их вероятности, где q=1-p.

7. Пусть каждый из объектов обладает свойствами a или ā. Причем свойством a обладает М объектов, ā – все остальные (N-M). Из N объектов наугад извлекается n объектов. Тогда вероятность того, что в выборку попадут m объектов, обладающих свойством a, вычисляется по формуле:


Случайные события и их вероятности

 



Обсудить на форуме

Комментарии к статье:

Уважаемый посетитель, Вы зашли на сайт как незарегистрированный пользователь
Мы рекомендуем Вам зарегистрироваться либо войти на сайт под своим именем
Информация
Посетители, находящиеся в группе Гости, не могут оставлять комментарии к данной публикации.

Регистрация

Реклама

Последние комментарии