Матрицы и определители

1. Понятие матрицы.
2. Виды матриц.
3. Операции над матрицами.
4. Основные понятия определителей.
5. Свойства определителей.
6. Обратная матрица.

 

Вы не можете скачивать файлы с нашего сервера


1. Матрица – прямоугольная таблица чисел, содержащая m-строк одинаковой длины или n-столбцов одинаковой длины. В общем виде:

Матрицы и определители

 

где аij – элемент матрицы.

2. Матрица, у которой число строк равно числу столбцов, называется квадратной. Матрица, имеющая одну строку, называется матрицей-строкой или вектором-строкой. Матрица, состоящая из одного столбца, называется матрицей-столбцом или вектором столбцом. Элементы, стоящие на диагонали, идущей из верхнего левого угла, образуют главную диагональ. Вторая диагональ – побочная.
Элементы матрицы, у которых номер столбца равен номеру строки, называются диагональными.
Квадратная матрица, у которой все элементы кроме диагональных равны нулю, называется диагональной.
Диагональная матрица, у которой каждый элемент главной диагонали равен единице, называется единичной и обозначается Е.
Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой.
Матрица, полученная из данной заменой каждой е строки столбцом данной с тем же номером, называется транспонированной.

3. Операция «сложение матриц» вводится только для матриц одинаковых размеров. Суммой двух матриц А и В одинакового размера m*n называется матрица С, каждый элемент которой вычисляется по следующей формуле:
сij=aij+bij
Произведением матрицы А на число k называется матрица В, каждый элемент которой вычисляется по формуле:
bij=k* aij.
Свойства:
А+В=В+А
А+(В+С)=(А+В)+С
А-А=0
Произведением матрицы А размером m* k на матрицу В размером k* m называется матрица С, каждый элемент которой равен сумме произведений элементов i-той строки матрицы А на соответствующие элементы j-того столбца матрицы В.
Операция «умножение двух матриц» водится только для случаев, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй.
Отличия умножения матриц от умножения чисел:
1. Если произведение двух матриц А и В существует, то произведения В на А может и не существовать.
2. Если произведение А на В и В на А существуют, то они могут быть разных размеров.
3. Произведение любой квадратной матрицы А на единичную матрицу Е того же порядка равно исходной матрице.
А*Е=Е*А=А
4. Произведение двух ненулевых матриц может равняться нулевой матрице: А*В=0.
Операция возведения в степень (определяется только для квадратных матриц):

4. Каждой квадратной матрице можно сопоставить число, которое называется определителем или детерминантом. Обозначается ∆, |A|, det A.
Определитель первого порядка, который соответствует матрице А=[a11] - a11.
|A|= a11.
Определителем второго порядка называется число, равное разности произведения элементов главной диагонали и побочной.
|A|= a11*а22-а12*а21.
При вычислении определителя третьего порядка удобно пользоваться правилом треугольника или Сардюса. Определитель третьего порядка равен разности двух величин: суммы произведений элементов, расположенных на главной диагонали и вершинах равнобедренных треугольников, основания которых параллельны главной диагонали, и суммы произведений элементов, расположенных на побочной диагонали и вершинах равнобедренного треугольников, основания которых параллельны побочной диагонали.

5. Минором некоторого элемента определителя А называется определитель, полученный из исходного путем вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых находится выбранный элемент. Обозначается Mij.
Алгебраическим дополнением элемента aij определителя А называется его минор со знаком «-» в степени (i+j).
Свойства определителя:
1. Равноправность строк и столбцов – определитель не изменится, если его строки заменить столбцами и наоборот;
2. При перестановке местами двух строк или двух столбцов определителя его знак меняется на противоположный;
3. Определитель, имеющий два одинаковых ряда, равен нулю;
4. Общий множитель элементов какой-либо строки или столбца определителя можно вынести за знак определителя;
5. В результате транспонирования матрицы А ее определитель не меняется;
6. Умножение всех элементов одной строки (столбца) определителя на любое число равносильно умножению определителя на это же число;
7. Когда элементы некоторой строки (столбца) определителя равны нулю, то и сам определитель равен нулю.

6. Обратной для матрицы А называется такая матрица А¯¹, которая удовлетворяет следующему условию:
А* А¯¹= А¯¹*А=Е
Условия существования обратной матрицы:
1. Матрица А имеет обратную матрицу тогда и только тогда, когда матрица А невырожденна.
2. Матрица должна быть квадратной.

А¯¹=1/|A|=à – присоединенная матрица.

Квадратная матрица А называется невырожденной, если ее определитель не равен 0.
Элементы присоединенной матрицы – алгебраические дополнения транспонированной исходной матрицы.
Схема нахождения обратной матрицы:
1. Вычисляем определитель матрицы и устанавливаем, является матрица вырожденной или невырожденной.
2. Для квадратной невырожденной матрицы строим транспонированную матрицу.
3. Каждый элемент транспонированной матрицы заменяем его алгебраическим дополнением, деленным на определитель матрицы.



Обсудить на форуме

Комментарии к статье:

Уважаемый посетитель, Вы зашли на сайт как незарегистрированный пользователь
Мы рекомендуем Вам зарегистрироваться либо войти на сайт под своим именем
Информация
Посетители, находящиеся в группе Гости, не могут оставлять комментарии к данной публикации.

Регистрация

Реклама

Последние комментарии