Случайные события и их вероятности

1. Понятие случайного события.
2. Классическое определение вероятности.
3. Теорема вероятности произведения событий.
4. Теорема сумм.
5. Формула полной вероятности. Формулы Байеса.
6. Формула Бернулли.
7. Урновая схема.

 

[attachment=1555]

 

1. Под случайным событием, связанным с некоторым опытом, понимается всякое событие, которое при осуществлении этого опыта либо происходит, либо не происходит.
Событие называется достоверным, если оно обязательно произойдет в результате опыта или экспериментов. Обозначается U. Если событие заведомо не может произойти в результате опыта, то оно называется невозможным. Обозначается V или ø. Случайные события обозначаются А, В, С…
События называются совместными, если появление одного из них не исключает появление других, в противном случае – несовместными.
Событие Ā (не «А») называется противоположным к событию А, если оно состоит в том, что событие А не произошло. События называются независимыми, если появление одного из них не зависит от того, произошло или нет другое событие. В противном случае зависимо.
Операции над событиями:
1. Суммой (объединением) событий А и В называется событие С, А+В=С (АUВ=С) которое происходит, когда наступает либо событие А, либо событие В, либо оба одновременно.
2. Произведением (пересечением) событий А и В называется событие С, которое наступает, когда происходят оба события А и В. А*В=С (АΩВ=С).
3. Разностью событий А и В (А/В=С) называется событие С, наступающее, когда происходит событие А, но не происходит В.

2. Пусть событие А связано с опытом с равновероятными исходами. Вероятностью события А называется отношение числа исходов опыта, благоприятствующих событию А, к числу исходов.
Р(А)=m/n, где m – число исходов, благоприятствующих А,
n – число исходов.
Свойства вероятности:
1.0≤ Р(А) ≤1
Р(ø)=0
Р(U)=1.
2. Р(А)+Р(Ā)=1
Р(Ā)=1- Р(А)

3. Вероятность произведения двух независимых событий А и В равна произведению их вероятностей:
Р(А*В)=Р(А)*Р(В) – для независимых событий.
Вероятность произведения n попарно независимых событий А1, А2…Аn равна произведению их вероятностей:
Р(А1*А2*…*Аn)=Р(А1)*Р(А2)*…*Р(Аn).
Пусть события А и В зависимы. Вероятность события В, вычисленная в предположении, что событие А произошло, называется условной вероятностью события В и обозначается Р(В/А).
Условная вероятность события В:
Р(В/А)= Р(А/В)/Р(А)
Р(А/В)= Р(А)* Р(В/А) – для зависимых событий.
Вероятность произведения зависимых событий А и В равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого при условии, что первое произошло.
Вероятность произведения n-зависимых событий А1, А2…Аn равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности остальных:
Р(А1*А2*…*Аn)=Р(А1)*Р(А2/А1)* Р(А3/А1*А2)*…*Р(Аn/А1*А2*Аn-1).

4.Вероятность суммы событий А и В равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного наступления.
Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ) – для совместных событий.
Р(А+В)=Р(А)+Р(В) – для несовместных событий.
Для n несовместных событий:
Р(А1+А2+…+Аn)=Р(А1)+Р(А2)+…+Р(Аn).
Для n совместных событий:
Р(А1+А2+…+Аn)=1-Р(Ā1* Ā2*…* Ān).

5. Пусть событие А наступает с одним из событий Н1, Н2,…,Нn. Пусть известны вероятность Р(Н1), Р(Н2), …, Р(Нn) и условные вероятности Р(А/Н1), Р(А/Н2), …, Р(А/Нn). Тогда вероятность события А вычисляется по формуле (формула полной вероятности):
Р(А)= Р(Н1)* Р(А/Н1)+ Р(Н2)* Р(А/Н2)+…+ Р(Нn)* Р(А/Нn), где Н1, Н2,…,Нn — гипотезы и их условные вероятности.
Формулы Байеса:
Р(Нi/А)= (Р(Нi)* Р(А/Нi))/Р(А)

6. Пусть событие А в некотором испытании произойдет с вероятностью р. Тогда вероятность того, что при n кратном повторении опыта событие А наступит ровно k раз вычисляется по формуле:
Случайные события и их вероятности, где q=1-p.

7. Пусть каждый из объектов обладает свойствами a или ā. Причем свойством a обладает М объектов, ā – все остальные (N-M). Из N объектов наугад извлекается n объектов. Тогда вероятность того, что в выборку попадут m объектов, обладающих свойством a, вычисляется по формуле:

Случайные события и их вероятности

 

dreamka

Поделиться
Отправить
Класснуть
Вотсапнуть
Запинить

Напишите комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.

Adblock
detector